广东数学竞赛题：x、y为实数，x²+y²=1，求x⁴+xy+y⁴的最大值

　　作者:轻松简单学数学

　　这是网上看到的广东数学竞赛题。

　　题目：x、y为实数，x²+y²=1，求x⁴+xy+y⁴的最大值。

　　解题分析：看到有4次方，就会想到把x²+y²=1两边平方，就可以消去多项式中有4次方的项。x⁴+2x²y²+y⁴=1，x⁴+y⁴=1-2x²y²，x⁴+xy+y⁴=1-2x²y²+xy=1+xy(1-2xy)。也就是要求xy(1-2xy)的最大值。

　　在求xy(1-2xy)的最大值之前，我们学习一个基本的数学概念。

　　如果x+y=2k，k是常数，那么，当x=y=k时，xy取得最大值k²。

　　我们证明一下这个结论。

　　x=2k-y，

　　xy=(2k-y)y=-y²+2ky

　　=-(y²-2ky+k²)+k²

　　=-(y-k)²+k²。

　　所以，y=k时，xy取得最大值k²。

　　此时，x也等于k。

　　现在我们求xy(1-2xy)的最大值。

　　xy(1-2xy)=(1/2)×2xy(1-2xy)，

　　因为2xy+(1-2xy)=1，

　　所以，2xy=(1-2xy)时，

　　2xy(1-2xy)取得最大值1/4，

　　xy(1-2xy)的最大值就是1/8。

　　x⁴+xy+y⁴=1+xy(1-2xy)的最大值

　　=1+1/8=9/8。

　　最后来看老师的解答，大家可以参考一下。