用消点法解2020年CMO第4题

发布于:好学网 编辑:好学网 2020-11-26 阅读量: 0

  

 

  一年一度的中国数学奥林匹克(即数学冬令营,简称CMO)于11月22日至28日在湖南长沙长郡中学举行。来自全国的近500名数学高手逐鹿中原,大显身手。

  昨天和今天早上8:00-12:30进行考试,每天三个题目。6个题目中今天的第4题为几何题。题目如下:

  

 

  WINTER

  锐角△ABC中,AB>AC,M为其外接圆上劣弧BC中点,K为A的对径点。过O作OD//AM交AB于D,交CA的延长线于E。直线BM交直线CK于P。直线CM交BK于Q。

  求证:∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC

  第一步,根据题意画出准确图形。

  本题条件比较普通,没有特别的限制,

  按条件准确画图就行,没什么难度。

  但是要注意图形中EOQ不共线。

  第二步:老规矩,先从条件入手,看看图

  形中有哪些隐藏的性质。

  由M为弧BC中点知AM为∠BAC角平分线,

  由OD//AM知∠AED=∠ADE,

  由直径知∠ABK=∠ACK=∠AMK=90°,

  当然还有OM⊥BC.

  其他的似乎就是圆周角相等之类的性质了,

  暂时没有发现很好的结论了。

  

 

  第三步:从证明结果入手。

  这个结果还是比较奇怪的,

  要证明两个角的和等于另两个角的和,

  一定要把角度看清楚,

  稍微看走眼就会南辕北辙、误入歧途。

  最好把这四个角都标记出来,

  要证∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC

  基本思路就是倒角,把这两组角都倒

  到某个三角形或者其他图形中。

  但是四个角似乎都不好倒出去,

  没法直接传递到其他的角。

  如果根据四边形内角和,把求证结论等价转化为

  ∠PBA+∠POE=∠DOQ+∠DCQ,

  还是没法传递出去,似乎意义不大。

  到这里就陷入了迷茫,分析法好像走不下去了。

  第四步,下面只能结合求证,进一步挖掘已知图形的性质了。

  直接证明不行,估计要适当添加一些辅助线,

  已知中最重要的线显然是直线EO,可以考虑做出整个

  直线,这样它与图形下半部分其他线也会相交。

  还是希望倒角,我们先关注其中的一个,例如∠OPB,

  最常用的倒角技巧当然是通过共圆,

  

 

  在准确的图形下面,似乎OBPG共圆,其中G为

  OE和CK交点。这个倒角不难证明。

  这应该是一个重要的结论,因为这样就能把∠OPB和∠OEB

  转移到△EBG中,看到了希望!

  对称的QNOC共圆,其中N为OE,QB交点。

  这样本题就转化为求证∠EBG=∠DCN。

  第五步,至此把证明简化了,应该在正确的道路上越走越远了。

  然而乱花渐欲迷人眼,

  图形太乱了,到了这里就能考虑消点,

  就能把无关的P,Q,M及与他们相关的元素消去。

  得到下图,

  条件变为:已知AK为直径,过O的直线满足AD=AE,

  求证:∠EBG=∠DCN。

  

 

  要证明此两角相等,基本思路是倒角或相似,

  但是似乎也都不太容易。

  只能进一步挖掘图形性质,

  容易发现△BDN∼△CEG,

  结合准确的图形,可以大胆猜测,

  图形中还有很多等角,

  即∠DBG=∠DCG,∠EBN=∠ECN。

  由对称性,只需证明第一个,

  第六步:

  这样就能进一步消去点E,N及相关元素,

  简化图形,得到下图:

  已知AK为直径,求证∠DBG=∠DCG,

  

 

  因为没有其他条件了,证明的基本思路当然还是倒角,

  考虑到圆周角,所以自然的思路是延长BG,CD交圆于I,J,

  下面只需证明IOJ共线即可,而这显然是帕斯卡定理。

  

 

  这样就能对称的得到另一对等角,从而水落石出,本题得证。

  第七步:

  最后将证明过程整理好,书写如下:

  

 

  证明:设DO交CK,BK于G,N。CD,CN,BG,BE交圆于J,T,I,S,

  由AK为直径知∠ACK=90°,

  由M为弧BC中点知AM为∠BAC角平分线,

  结合OD//AM知

  ∠EGC=90°-∠AED=90°-∠CAM

  =90°-∠BAM=∠OBP,

  故OBPG共圆。

  对称的ONQC共圆。

  对圆内接六边形CKABIJ利用pascal定理知IJO共线。

  故弧JK=弧IA,故∠DBG=∠DCG。故∠KBG=∠ACD。

  对称的,对CAKBST由pascal定理有SOT共线,

  故∠EBN=∠ECN。

  则∠EBG=∠DCQ。

  故∠OGB+∠OEB=∠ONC+∠ODC

  即∠OPB+∠OEB=∠OQC+∠ODC。

  第八步:简单总结。

  综合上面的思考过程,可以看出本题是一个难得的好题。

  难度合适,题目新颖,既朴素自然,中规中矩,结果又出人意料,不落窠臼。

  证明不太容易入手,四个角度都不好处理转化,然而找到了入手点后,不需要太多过程。

  当然本题思路比较多,应该还有更简洁明了的证明方法。

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